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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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9. Halle los límites en $+\infty$ y en $-\infty$ de las siguientes funciones. Además calcule, si existe, el límite en los puntos indicados
a) $f(x)=\frac{10 e^{2 x}}{5 e^{2 x}+3 x^{2}}$

Respuesta

Límite en $+\infty$

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3x^{2}} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", acordate que $e^{+\infty} = +\infty$
Sacamos factor común "el que manda" (manda la exponencial eh, no el polinomio)

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10 e^{2x}}{e^{2x}(5 + \frac{3x^{2}}{e^{2x}})} $

Simplificamos:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10}{5 + \frac{3x^{2}}{e^{2x}}} $

Ahora, la parte de $\frac{3x^{2}}{e^{2x}}$ tiende a $0$ cuando $x \rightarrow +\infty$. La exponencial, que está en el denominador, crece muuucho más rápido que el polinomio (imaginate si querés que "tiene grado mayor"). De todas formas, este límite en el parcial lo vas a poder justificar sin problemas usando L'Hopital. Entonces,

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10}{5 + \frac{3x^{2}}{e^{2x}}} = 2$

Límite en $-\infty$

$ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3x^{2}} $

Ahora, acordate que $e^{-\infty} = 0$. Por lo tanto, acá no tenemos ninguna indeterminación y este límite da...

$ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3x^{2}} = 0$
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Avatar Malena 2 de mayo 20:00
Hola flor en la guía en este ejercicio sacaron el x a la 2 en el 3 del denominador, cuando tiende a +infinito no cambia el resultado. Pasa lo mismo para -infinito?? Porque quedaría 0/0
Avatar Flor Profesor 3 de mayo 17:42
@Malena Hola Male! En la guía de este cuatri lo pusieron así (perdón que todavía no llegué a actualizarla esta! igual los cambios fueron mínimos, sólo me aseguré que coincidiera la numeración de los ejercicios)

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3}$

Fijate que cuando $x$ tiende a $+\infty$ estamos en el mismo caso que con el enunciado de antes, tenemos una indeterminación infinito / infinito y la salvamos con la misma idea 

Pero atenti, cuando $x$ tiende a $-\infty$, el numerador tiende a cero, pero en el denominador tenés la exponencial que tiende a $0$ y después $+3$... o sea que el denominador tiende a $3$ -> Entonces algo que tiende a 0 dividido algo que tiende a 3, nos da cero :) 

Se ve? 
Avatar tomas 27 de abril 00:32
buenas flor y exacomunidad, una duda, cuando hacemos el lim tendiendo a -infinito no queda cero arriba y abajo? o el resultado de cero es una vez "salvando" la indeterminación? gracias! 
Avatar Flor Profesor 27 de abril 10:38
@tomas Hola Tomi! En la parte del límite tendiendo a $-\infty$ fijate que te queda:

* Numerador: $10 \cdot e^{2x} = 10 \cdot 0 = 0 \Rightarrow$ El numerador tiende a cero

* Denominador: $5 \cdot e^{2x} + 3x^2 = 5 \cdot 0 + 3 \cdot (-\infty)^2 = 0 +\infty = +\infty \Rightarrow$ El denominador tiende a + infinito

Así que en realidad ahí no tenés ninguna indeterminación, porque $0$ dividido algo que tiende a infinito, tiende a cero. 

Avisame si ahora con los pasos más desglosados lo viste más claro! :)
Avatar tomas 27 de abril 18:13
aaa, si ahora lo ví mejor! ayer me quede mirando la pantalla un buen rato jaja, gracias como siempre!
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